廣義階和數列──階和與階差的統一推廣

在參考資料〔1〕與〔2〕，分別了討論了階和與階差數列的定義，以及它們的一般項公式，並進而應用在Fibonacci數列和Padovan數列，證明了一些恆等式。這些已知的內容置於附錄，方便讀者作比較與對照。簡單來說，階和（差）數列的概念，是將原來數列中的相鄰項，兩兩相加（減）之後，作為第一階的階和（差）數列；再將第一階的階和（差）數列中的相鄰項，兩兩相加（減）之後，作為第二階的階和（差）數列，以此規則不斷地進行下去，即可得到第k階的階和（差）數列。在操作過程中，可看到「二項式係數」自然地浮現，在歸納出一般項公式之後，可用數學歸納法加以證明。另一方面，從Fibonacci數列和Padovan數列的定義，可以看出，它們的階和（差）數列，仍然分別是Fibonacci數列和Padovan數列，只是下標出現了移動，在觀察出移動的規則之後，也可用數學歸納法加以證明。