拉格朗日的奧義：插值多項式的展開式係數

現行高中課程的多項式除法，循序漸進地介紹了除法原理、餘式定理、因式定理。大家都知道：多項式f(x)除以x- a的餘式是f(a)。進一步地，試問：設a,b,c全相異，則多項式f(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的餘式為何？此一問題，課程中已給出了回答以上的事實，不妨稱為「推廣的餘式定理」，以此而言，呈現出了拉格朗日插值多項式在代數上的意義與重要性，在多項式的體系中，是不可或缺的一環。另一方面，在「商式定理」一文中，探討多項式除法所得的商式係數，特別地，可得如下的事實：x n+3除以(x-a)(x-b)(x-c)的商式係數，正是a,b,c三變數構成的完全齊次對稱多項式hj(a,b,c)，其中下標j由0到n。也可用算式表達：用a,b,c的「對稱多項式」加以表達。問題：A,B,C如何用對稱多項式加以表達？