費氏數列與Padovan數列的二項式係數恆等式：用「階和數列」的觀點

一般而言，階差數列要比階和數列來得常見，甚至可能有人根本沒聽過何謂「階和數列」。但「階和」的觀念與一般項公式，絕非故弄玄虛，而是相當樸實的，在前幾列的階和運算中，「二項式係數」即已自然浮現，而費氏數列與Padovan數列的遞迴關係式，恰好與階和數列的結構吻合，使得每一列的階和作完，下一列仍為費氏數列或Padovan數列。至此，筆者體會到何以等式的右端是費氏數列與Padovan數列，而不是二項式係數，對此類恆等式，也有了另一番的領悟。或許有讀者會這麼想，何不直接對所欲證的恆等式使用數學歸納法呢？對此，可以反問：那所要證的恆等式是怎麼出現的呢？這正是本篇文章想回答的：先透過觀察歸納作出猜想，再使用數學歸納法證明，即所謂的「先猜後證」。本篇文章用到的高中數學知識與觀念有：遞迴數列、二項式係數、數學歸納法，可提供學完數列級數與排列組合的高中學生作為自學補充教材。