雙曲幾何基本構圖及變換在數學算板中的實踐與應用

歐幾里得的《幾何原本》列出了五個公設： 1. 相異兩點可以決定一直線。 2. 直線的兩邊可以無限延伸。 3. 任意一點與任一距離可以畫出一圓。 4. 凡直角皆相等。 5. 同一平面上兩線被一直線所截，若某一側的兩個內角和小於二直角，則這兩條直線會在該側相交。公設的意思就是不必證明就認定其為正確的定理。利用這五個公設及其他定義和公理，歐幾里得導出了幾何原本中的定理。前四個公設，淺顯可以同意它的正確性，但是第五公設描述較為複雜，許多數學家企圖利用前四個公設來證明其正確性，但都沒有人成功。第五公設，稱為平行公設（Parallel Axiom），有一個等價的描述－－普來費爾公理（Playfair's Axiom）：「過直線外一點恰有一條直線與此直線平行」。雖證不出平行公設，有些數學家就試著改變平行公設的內容，公設改成「過線外一點沒有任何一條線會與此線平行」或「過線外一點至少有兩條直線會與此線平行」，根據前者得出的幾何系統就是橢圓幾何（Elliptic Geometry）；根據後者推論出來的幾何系統稱為雙曲幾何（ Hyperbolic Geometry）。雙曲幾何有許多不同的呈現模型，數學算板中使用龐加萊圓盤模型（Poincare's disk model）作為雙曲幾何構圖的基本模型。