解聯立觀測方程式求平面坐標

在各種平面位置解算法中，'四點交會法'常以共線式解聯立來處理。相較於傳統測量之解算方式，共線式解法甚為簡捷，只要'立方程式' + '解聯立'就能完成任務。因此本文整合'角邊觀測量列方程式'與'解聯立觀測方程式'，應用在各種求未知點平面坐標之計算，並與傳統方式比較其優缺點。
'觀測方程式'種類：（A、B為已知點，Q為未知點）
(1)距離：LAQ=√(XQ-XA)2+(YQ-YA)2
(2)方位角：φAQ=tan-1 (XQ-XA / YQ-YA)+C，（C=0°、+180°或+360°）
(3)夾角（化為方位角）：α=∠QAB=φAB-φAQ，φAQ=φAB-α={tan-1 (XQ-XA / YQ-YA)+C}
(4)夾角（直接展開）：∠AQB=φQB-φQA={tan-1 (XB-XQ/YB-YQ)+CQB}-{tan-1 (XA-XQ/YA-YQ)+CQA}
'解聯立方程式'方法：(1)觀測方程式之基本處理：
(a)距離：兩側取平方。
(b)方位角：兩側取tan，並適時使用正切函數之和差公式。
(2)解聯立方程式可能產生兩解：
(a)符合題意者有兩處時：兩解皆須算出，如交弧法、截距法…。
(b)符合題意者僅一處時：藉由數據判別，如方位角距離法、夾角距離法…。
(3)坐標約化：選擇某已知點坐標來平移。
'角邊觀測量列方程式並解聯立'看似單純，但實際解算過程卻頗為繁複，計算時間較傳統方式為長，且常出現兩解，單就不需平差之平面坐標解算而言，使用上較為不便。
'解聯立觀測方程式'除應用於不需平差之坐標解算外，間接觀測平差之起始步驟也是'立觀測方程式'，且國考試題曾多次明確要求編列觀測方程式，有鑒於此，筆者方才整理發文，供研讀測量學與參加國考者參考。
筆者另製作影片並上傳至YouTube，檢索詞為「測量五十講觀測方程式」，歡迎瀏覽。