一些常見的結不變量

結理論（knot theory）主要是研究如何將各式各樣的結分類，即給定兩個結，探討該如何判斷它們在實質上是否可視為是同一個結的問題。直觀上我們可以用實際打結的方式，直接用繩子打出兩個結後，試著將其中一個結的某條曲線段作任意變形的動作，看是否能變形成另一個結。但這樣的實作方式，即使在嘗試了很多次後，發現這個結無法變形成另一個結，也不能肯定這兩個結是不相等的。數學上常利用的方法，是應用 Reidemeister 定理，首先在分別代表這兩個結的兩個結圖之間找到一組 Reidemeister 移動的組合（簡稱 R 移動組合）、並判斷這兩個結圖是相等後，再推得其所代表的兩個結亦相等。但實務上此方法仍然不容易進行，原因是如果這兩個結圖比較複雜，實際上在測試時，也只能像前述實際打結操作方式，藉由不斷嘗試用 Reidemeister 移動來測試這兩個結圖之間是否存在一個 R 移動組合，可以將其中一個結變形成為另一個結，實務上並無一定判準來決定這個 R 移動組合是否存在（孫維民與譚克平，2017）。為提供更有效判斷兩個結是否相等的方式，數學家常利用結不變量（knot invariant）的概念來進行判斷。但由於結有很多不同的類型，目前尚未找到一個萬能的結不變量，可以用來判斷任意兩個結是否相等，因此目前在相關文獻中，可以找到若干個不同的結不變量的概念，各有其優、缺點及適用範圍。以下本文會先介紹一些需要用到的符號，接著引進一些結不變量的概念及例子，最後再提供一些題目給有興趣的讀者練習及思考，從中學習數學推理。